文中涉及的公式总览

根据原文内容，以下是所有涉及或暗示的公式和物理量：

1. 摩尔浓度 (Molarity, M)：在描述试剂浓度时使用。
2. 流体动力学直径 ($D_h$) 与斯托克斯-爱因斯坦方程 (Stokes-Einstein Equation)：DLS测量的核心原理。
3. 多分散指数 (Polydispersity Index, PDI)：用于描述粒径分布的宽度。
4. Zeta电位 ($\zeta$) 与斯摩路霍夫斯基方程 (Smoluchowski Equation)：ELS测量的核心原理，用于评估胶体稳定性。
5. 单体转化率 (Monomer Conversion)：用于量化聚合反应的程度。
6. 标准差 (Standard Deviation, $\sigma$)：用于量化数据（如粒径测量）的分散程度。
7. 胶体光子晶体的布拉格衍射定律 (Bragg's Law for Colloidal Photonic Crystals)：解释了为什么不同尺寸的胶乳薄膜会呈现不同颜色。
8. 玻璃化转变温度 ($T_g$)：一个重要的聚合物物理性质符号。

---

1. 摩尔浓度 (Molarity)

公式来源：原文在“3.3 聚苯乙烯胶乳的合成”部分多次提到试剂浓度，例如“0.025 M的4-乙烯基苯磺酸钠”、“0.05 M PVP”等。这背后是摩尔浓度的定义。

公式 摩尔浓度的定义公式为：

$$c = \frac{n}{V}$$

其中：

• $c$ 是摩尔浓度，单位是摩尔/升 (mol/L)，通常用符号 M 表示。
• $n$ 是溶质的物质的量，单位是摩尔 (mol)。
• $V$ 是溶液的体积，单位是升 (L)。

公式解释 摩尔浓度是化学中最常用的溶液浓度表示方法之一。它定义了单位体积溶液中所含溶质的物质的量。这个概念对于配制反应所需浓度的溶液至关重要。例如，在实验中，学生需要精确控制引发剂、稳定剂和单体的量，而这些量通常是通过使用已知浓度的溶液并量取特定体积来实现的。

具体数值示例说明 原文提到使用了“150 µL 0.025 M的4-乙烯基苯磺酸钠(St(-))”。我们可以用这个例子来计算加入的St(-)的物质的量。

1. 将单位统一：

   • 浓度 $c = 0.025 \ \text{M} = 0.025 \ \text{mol/L}$
   • 体积 $V = 150 \ \mu\text{L} = 150 \times 10^{-6} \ \text{L}$

2. 计算物质的量： 根据公式 $n = c \times V$：

   $$n_{\text{St(-)}} = 0.025 \ \text{mol/L} \times (150 \times 10^{-6} \ \text{L}) = 3.75 \times 10^{-6} \ \text{mol}$$

   因此，学生在反应中加入了 $3.75 \times 10^{-6}$ 摩尔的4-乙烯基苯磺酸钠作为电荷稳定剂。

2. 流体动力学直径 ($D_h$) 与斯托克斯-爱因斯坦方程 (Stokes-Einstein Equation)

公式来源：原文在“3.4 表征”部分明确指出，使用动态光散射 (DLS) 来确定流体动力学直径 ($D_h$)。DLS技术的核心物理原理是斯托克斯-爱因斯坦方程。

公式 斯托克斯-爱因斯坦方程将颗粒的平移扩散系数 ($D_t$) 与其流体动力学直径 ($D_h$) 联系起来：

$$D_h = \frac{k_B T}{3 \pi \eta D_t}$$

其中：

• $D_h$ 是流体动力学直径，单位是米 (m)。这是DLS测量的主要结果，表示与实际胶乳颗粒具有相同扩散系数的理想硬球的直径。
• $k_B$ 是玻尔兹曼常数，约等于 $1.38 \times 10^{-23} \ \text{J/K}$。
• $T$ 是绝对温度，单位是开尔文 (K)。
• $\eta$ 是分散介质（在此实验中是水）的动力粘度，单位是帕斯卡·秒 (Pa·s)。
• $D_t$ 是颗粒的平移扩散系数，单位是米²/秒 (m²/s)。DLS仪器通过分析散射光强度的波动（由颗粒的布朗运动引起）来直接测量此值。

公式解释 在溶液中，胶乳颗粒由于与溶剂分子的不断碰撞而进行着永不停歇的无规则运动，即布朗运动。DLS技术通过照射激光并检测散射光强度的快速波动来监测这种运动。颗粒越小，布朗运动越快，光强波动频率越高，计算出的扩散系数 $D_t$ 就越大。斯托克斯-爱因斯坦方程则将这个宏观可测的扩散系数与微观的颗粒尺寸 $D_h$ 联系起来。它表明，在给定的温度和溶剂粘度下，颗粒的流体动力学直径与它的扩散系数成反比。

具体数值示例说明 假设学生在室温 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 下用水作为分散介质测量一个PS胶乳样品。

1. 准备参数：

   • 温度 $T = 25^{\circ} \mathrm{C} = 298.15 \ \text{K}$。
   • 水的粘度 $\eta$ 在 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 时约为 $8.9 \times 10^{-4} \ \text{Pa} \cdot \text{s}$。
   • 玻尔兹曼常数 $k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \ \text{J/K}$。
   • 假设DLS仪器测得颗粒的扩散系数 $D_t = 2.2 \times 10^{-12} \ \text{m}^2/\text{s}$。

2. 计算流体动力学直径：

   $$D_h = \frac{(1.38 \times 10^{-23} \ \text{J/K}) \times (298.15 \ \text{K})}{3 \pi (8.9 \times 10^{-4} \ \text{Pa} \cdot \text{s}) (2.2 \times 10^{-12} \ \text{m}^2/\text{s})} \approx 2.24 \times 10^{-7} \ \text{m}$$

   将结果转换为纳米：$2.24 \times 10^{-7} \ \text{m} = 224 \ \text{nm}$。 因此，该样品的平均粒径约为 224 nm，这与文中所述的尺寸范围（185 nm 至 385 nm）相符。

3. 多分散指数 (Polydispersity Index, PDI)

公式来源：原文在“3.4 表征”和“5 结果与讨论”中多次提到PDI，并给出了具体数值（例如，“PDI非常小（平均值<0.04）”），用以说明胶乳尺寸的均一性。

公式 对于通过DLS的累积分析法（cumulant analysis）获得的结果，PDI通常根据以下简化关系估算：

$$\text{PDI} = \left( \frac{\sigma}{d} \right)^2$$

其中：

• PDI 是一个无量纲的数值，用于衡量粒径分布的宽度。
• $\sigma$ 是粒径分布的标准差。
• $d$ 是平均粒径。

公式解释 PDI是衡量一个样品中颗粒尺寸分布是单一（单分散）还是宽泛（多分散）的关键指标。一个完全由相同尺寸颗粒组成的理想样品，其PDI值为0。在实际中，PDI值越接近0，表明样品的尺寸越均一。

• PDI < 0.1：通常认为样品是单分散的，尺寸非常均一，这对于制备高质量的胶体光子晶体至关重要。
• 0.1 < PDI < 0.4：表明样品具有中等程度的多分散性。
• PDI > 0.4：表明样品是高度多分散的，尺寸分布很宽。

具体数值示例说明 原文提到一个样品的PDI值为0.017，$D_h$ 约为 $219 \ \text{nm}$。我们来反推其尺寸分布的相对宽度。

1. 已知参数：

   • $\text{PDI} = 0.017$
   • 平均粒径 $d = 219 \ \text{nm}$

2. 计算相对标准差： 根据公式 $\sqrt{\text{PDI}} = \frac{\sigma}{d}$：

   $$\frac{\sigma}{d} = \sqrt{0.017} \approx 0.13$$

   这意味着粒径分布的标准差大约是平均粒径的13%。

   $$\sigma = 0.13 \times 219 \ \text{nm} \approx 28.5 \ \text{nm}$$

   这个结果说明，虽然PDI值很低，看起来尺寸非常均一，但粒径仍然存在一定的分布范围。文中小于0.04的PDI值充分证明了该实验方法能制备出尺寸高度均一的PS胶乳。

4. Zeta电位 ($\zeta$) 与斯摩路霍夫斯基方程 (Smoluchowski Equation)

公式来源：原文在“3.4 表征”和“5 结果与讨论”中提到测量Zeta电位 ($\zeta$)，并给出了具体数值（$\zeta=-53.3 \pm 7.1$ mV），用以评价胶体稳定性。Zeta电位是通过电泳光散射 (ELS) 技术测量的，其计算依赖于斯摩路霍夫斯基方程（或更通用的亨利方程）。

公式 对于水性体系中半径远大于双电层厚度的颗粒，可以使用斯摩路霍夫斯基方程近似：

$$\zeta = \frac{\mu_e \eta}{\epsilon}$$

其中：

• $\zeta$ 是Zeta电位，单位是伏特 (V) 或毫伏 (mV)。它代表颗粒滑动面（slipping plane）上的电位，是衡量颗粒间静电排斥力的重要指标。
• $\mu_e$ 是电泳迁移率，单位是 $(\text{m/s})/(\text{V/m})$ 或 $\text{m}^2/(\text{V} \cdot \text{s})$。这是ELS仪器通过测量颗粒在外加电场中的运动速度来直接测定的值。
• $\eta$ 是分散介质的动力粘度 (Pa·s)。
• $\epsilon$ 是分散介质的介电常数（也称电容率），单位是法拉/米 (F/m)。它等于真空介电常数 $\epsilon_0$ 与介质的相对介电常数 $\epsilon_r$ 的乘积，即 $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$。

公式解释 胶乳颗粒表面通常带有电荷（在此实验中，来自St(-)的磺酸根基团，带负电），会吸引周围水中的反离子，形成一个双电层结构。当颗粒在电场中移动时，一部分紧密结合的离子会随之移动，其边界被称为滑动面。Zeta电位就是这个滑动面相对于主体溶液的电位。其绝对值越高，颗粒间的静电排斥力就越强，胶体体系就越不容易发生絮凝或沉降，即胶体稳定性越好。通常认为 $|\zeta| > 30 \ \text{mV}$ 表示体系具有良好的稳定性。

具体数值示例说明 我们使用原文给出的$\zeta$值来估算一个颗粒的电泳迁移率。

1. 准备参数：

   • Zeta电位 $\zeta = -53.3 \ \text{mV} = -0.0533 \ \text{V}$。
   • 在 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 下，水的粘度 $\eta \approx 8.9 \times 10^{-4} \ \text{Pa} \cdot \text{s}$。
   • 在 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 下，水的相对介电常数 $\epsilon_r \approx 78.5$。真空介电常数 $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m}$。因此，$\epsilon = 78.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \ \text{F/m} \approx 6.95 \times 10^{-10} \ \text{F/m}$。

2. 计算电泳迁移率： 根据公式 $\mu_e = \frac{\zeta \epsilon}{\eta}$：

   $$\mu_e = \frac{(-0.0533 \ \text{V}) \times (6.95 \times 10^{-10} \ \text{F/m})}{8.9 \times 10^{-4} \ \text{Pa} \cdot \text{s}} \approx -4.16 \times 10^{-8} \ \frac{\text{m}^2}{\text{V} \cdot \text{s}}$$

   这个计算结果表明，要获得-53.3 mV的Zeta电位，仪器需要测得颗粒具有约 $-4.16 \times 10^{-8} \ \text{m}^2/(\text{V} \cdot \text{s})$ 的电泳迁移率。负号表示颗粒在外电场中向正极移动，证实其表面带负电。

5. 单体转化率 (Monomer Conversion)

公式来源：原文在“5 结果与讨论”中提到，“单体转化率通过比较样品干燥前后的质量来估算”，并给出了30%-60%的范围。

公式 转化率的估算基于固含量的测定。其计算公式为：

$$\text{转化率} \ (\%) = \frac{m_{\text{聚合物}}}{m_{\text{单体, 初始}}} \times 100\%$$

在实际操作中，$m_{\text{聚合物}}$是通过干燥一定质量的胶乳样品得到的固体质量。更精确的公式应考虑样品中原有的非挥发性物质（如稳定剂PVP和St(-)）：

$$\text{转化率} \ (\%) = \frac{m_{\text{干燥后}} - m_{\text{非挥发物, 初始}}}{m_{\text{单体, 初始}}} \times 100\%$$

其中：

• $m_{\text{干燥后}}$ 是取出的胶乳样品完全干燥后剩余的固体质量。
• $m_{\text{非挥发物, 初始}}$ 是该胶乳样品中所含的PVP、St(-)等非挥发性添加剂的总质量。
• $m_{\text{单体, 初始}}$ 是该胶乳样品中所含的初始单体（苯乙烯）的质量。

公式解释 单体转化率是衡量聚合反应进行程度的关键参数。它表示有多少比例的初始单体已经成功转化为聚合物。通过测量转化率，可以了解反应动力学（如反应速率随时间的变化），并判断反应是否已经完成或达到了预期的产率。

具体数值示例说明 假设学生从总反应体系（约11.2 mL）中取出了1.0 g的胶乳样品进行干燥。我们首先需要估算这个样品中初始单体和非挥发物的质量。

1. 估算样品中各组分初始质量：

   • 总反应体积约为 $10 + 0.15 + 0.2 + 0.37 + 0.56 + 0.37 \approx 11.65 \ \text{mL}$。
   • 加入苯乙烯体积为 560 µL = 0.56 mL。苯乙烯密度约为 0.909 g/mL，所以总单体质量 $m_{\text{单体, 总}} = 0.56 \ \text{mL} \times 0.909 \ \text{g/mL} \approx 0.509 \ \text{g}$。
   • 假设总反应液密度接近水，约为1 g/mL，总质量约为 11.65 g。
   • 那么，1.0 g样品中所含的初始单体质量为 $m_{\text{单体, 初始}} = 0.509 \ \text{g} \times \frac{1.0 \ \text{g}}{11.65 \ \text{g}} \approx 0.0437 \ \text{g}$。
   • （为简化，我们忽略PVP等非挥发物的初始质量，这在它们用量很少时是可接受的近似）。

2. 计算转化率：

   • 假设将这1.0 g胶乳样品放入烘箱干燥后，剩余的白色固体质量 $m_{\text{干燥后}} = 0.022 \ \text{g}$。

3. 代入公式：

   $$\text{转化率} \ (\%) = \frac{0.022 \ \text{g}}{0.0437 \ \text{g}} \times 100\% \approx 50.3\%$$

   这个50.3%的转化率结果落在了原文所述的30%-60%范围内，是一个合理的学生实验结果。

6. 标准差 (Standard Deviation, $\sigma$)

公式来源：原文在图4a的图注中明确提到“误差棒代表几个学生小组共享的测量粒径的平均标准差”，表明学生对数据进行了统计分析。

公式 样本标准差的计算公式为：

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}$$

其中：

• $\sigma$ 是样本标准差，表示数据的离散程度。
• $N$ 是数据点的数量（例如，测量的次数或颗粒的数量）。
• $x_i$ 是第 $i$ 个数据点的值。
• $\bar{x}$ 是所有数据点的算术平均值。

公式解释 标准差是统计学中衡量一组数值相对于其平均值的离散程度的最常用指标。在本次实验中，它可以用来表示：

1. 单个胶乳样品中，通过EM图像测量的多个颗粒直径值的分散程度，反映了样品本身的尺寸均匀性。
2. 多个学生小组对同一胶乳样品或同条件下制备的不同样品进行测量的结果之间的差异，反映了实验的可重复性。图4a中的误差棒就代表了后者。

具体数值示例说明 假设三个学生小组使用0.85 mM的PVP浓度制备了PS胶乳，并用EM测得其平均粒径分别为 240 nm、255 nm 和 242 nm。

1. 计算平均值 $\bar{x}$：

   $$\bar{x} = \frac{240 + 255 + 242}{3} = \frac{737}{3} \approx 245.7 \ \text{nm}$$

2. 计算离差平方和 $\sum (x_i - \bar{x})^2$：

   $$(240 - 245.7)^2 + (255 - 245.7)^2 + (242 - 245.7)^2 \\ = (-5.7)^2 + (9.3)^2 + (-3.7)^2 \\ = 32.49 + 86.49 + 13.69 = 132.67$$

3. 计算标准差 $\sigma$：

   $$\sigma = \sqrt{\frac{132.67}{3-1}} = \sqrt{\frac{132.67}{2}} = \sqrt{66.335} \approx 8.1 \ \text{nm}$$

   因此，这组实验结果的平均粒径为 $245.7 \pm 8.1 \ \text{nm}$。这个$\pm 8.1 \ \text{nm}$就是图4a中误差棒的长度的一半，它量化了不同实验之间的结果波动。

7. 胶体光子晶体的布拉格衍射定律 (Bragg's Law)

公式来源：原文在摘要和“5 结果与讨论”中描述了胶乳薄膜的颜色与粒径的对应关系（蓝光对应185 nm，绿光对应240 nm，红光对应300 nm），并明确指出这是由“胶体光子晶体的衍射”和“选择性反射”引起的。这背后的物理原理是布拉格衍射定律在胶体晶体中的应用。

公式 对于由胶乳颗粒自组装形成的密堆积（通常是面心立方, FCC）结构，其对光线的选择性反射（衍射）遵循修正的布拉格定律。对于垂直入射的光线 ($\theta=90^\circ$)，最强反射的波长 $\lambda_{\text{max}}$ 可以用以下简化公式近似：

$$\lambda_{\text{max}} = 2 d_{111} \sqrt{n_{\text{eff}}^2 - \sin^2\theta_{inc}}$$

在正入射情况下（$\theta_{inc} = 0$），公式简化为：

$$\lambda_{\text{max}} = 2 d_{111} n_{\text{eff}} \approx 1.633 \cdot D \cdot n_{\text{eff}}$$

其中：

• $\lambda_{\text{max}}$ 是发生相长干涉（最强反射）的光的波长，这决定了我们看到的薄膜颜色。
• $d_{111}$ 是FCC晶格中(111)晶面的间距。对于理想的密堆积球体，它与球体直径$D$的关系是 $d_{111} = D \sqrt{2/3} \approx 0.8165 \cdot D$。
• $D$ 是胶乳颗粒的直径。
• $n_{\text{eff}}$ 是胶体晶体的有效折射率，它由聚合物颗粒的折射率 ($n_p$) 和填充介质（此处为空气，$n_m=1.0$）的折射率以及它们的体积分数共同决定，可通过公式 $n_{\text{eff}}^2 = n_p^2 f_p + n_m^2 (1-f_p)$ 计算，$f_p$是聚合物的体积分数（对于理想FCC堆积，$f_p \approx 0.74$）。

公式解释 当尺寸均一的胶乳颗粒干燥自组装成有序的阵列时，它们就像晶体中的原子一样，会形成周期性的结构。这个结构可以对特定波长的光产生衍射，类似于X射线在晶体中的衍射。当光的波长满足布拉格条件时，从不同层颗粒反射回来的光会发生相长干涉，导致这个波长的光被强烈反射，而其他波长的光则大部分透射或被吸收。因此，薄膜会呈现出与被反射光的波长相对应的颜色。从公式可以看出，反射的波长 $\lambda_{\text{max}}$ 与颗粒直径 $D$ 成正比，这就是为什么大颗粒的胶乳薄膜呈现红色（长波），而小颗粒的呈现蓝色（短波）。

具体数值示例说明 我们用原文中绿色薄膜的数据来验证这个关系。

1. 准备参数：

   • 粒径 $D = 240 \ \text{nm}$ (对应绿色)。
   • 聚苯乙烯 (PS) 的折射率 $n_p \approx 1.59$。
   • 空气的折射率 $n_m = 1.0$。
   • 理想FCC堆积中，PS的体积分数 $f_p \approx 0.74$。

2. 计算有效折射率 $n_{\text{eff}}$：

   $$n_{\text{eff}}^2 = (1.59)^2 \times 0.74 + (1.0)^2 \times (1 - 0.74) = 2.528 \times 0.74 + 1.0 \times 0.26 \\ = 1.871 + 0.26 = 2.131$$

   $$n_{\text{eff}} = \sqrt{2.131} \approx 1.46$$

3. 计算反射波长 $\lambda_{\text{max}}$：

   $$\lambda_{\text{max}} \approx 1.633 \times D \times n_{\text{eff}} = 1.633 \times (240 \ \text{nm}) \times 1.46 \approx 571 \ \text{nm}$$

   571 nm的波长在可见光光谱中对应于黄绿色。考虑到胶乳颗粒堆积并非绝对理想、粒径存在分布以及观察角度等因素，这个计算结果与原文中“绿色”的描述高度一致，从而验证了胶体晶体的结构色与粒径之间的物理关系。

8. 玻璃化转变温度 ($T_g$)

公式来源：这是一个物理化学中的标准符号，在摘要和“5 结果与讨论”中均有提及。它本身不是一个计算公式，而是一个代表重要物理性质的符号。

公式 $T_g$ 或 $T_{\mathrm{g}}$

符号解释 玻璃化转变温度 ($T_g$) 是非晶态聚合物（如聚苯乙烯）的一个重要热力学性质。它不是一个精确的熔点，而是一个温度范围。

• 当温度低于 $T_g$ 时，聚合物链段运动被冻结，材料呈现出坚硬、刚性的“玻璃态”。
• 当温度高于 $T_g$ 时，聚合物链段开始能够进行协同运动，材料转变为柔软、有弹性的“橡胶态”或粘流态。

在本次实验的背景下，$T_g$ 的意义在于：当胶乳薄膜被加热到其 $T_g$ 以上时（块状PS的$T_g$约为$100^{\circ} \mathrm{C}$，但文中提到胶乳的$T_g$会更低），独立的PS胶乳颗粒会变软并发生塑性形变，最终相互融合（聚并），破坏了原有的有序胶体晶体结构。这个过程会消除颗粒间的空隙，使薄膜变得致密透明，从而导致其结构色消失。这是一个证实薄膜颜色来源于物理结构而非化学染料的有效方法。

具体数值示例说明 此处没有计算，而是对一个物理现象的解释。

• 示例：一个显示绿色的PS胶乳薄膜被放置在加热板上，缓慢升温。
• 观察：当温度超过约 $80-90^{\circ} \mathrm{C}$（假设这是该胶乳的$T_g$）时，可以观察到薄膜的绿色逐渐褪去，最终变为一块无色透明的塑料薄片。
• 结论：这个现象证实了该聚合物经历了从玻璃态到橡胶态的转变，导致胶乳颗粒****聚并，从而破坏了产生结构色的光子晶体结构。